糖水不等式（糖水不等式的 *** ）

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糖水不等式

(b-c)/(a-c)b/a，这里abc均大于零，且cba

是这意思么？

糖水不等式，君子不等式的性质及证明

糖水问题

在含有a克糖的b克糖水中,加入m克糖,糖水会变甜.

这一事实中,我们可以得到这样一个数学命题：

如果b＞a＞0,那么a/b＜(a+m)/(b+m),其中m＞0，m为实数

解：

从化学角度说，糖水会变甜，指溶解在水中的糖的质量分数变大了

原糖水中溶解在水中的糖的质量分数=a/b*100%

加入m克糖,即溶液中溶质的量增大了，增大后溶解在水中的糖的质量=a+m

同样的，溶液的质量也增大了，增大后溶液的质量变为b+m

所以加入m克糖后，溶解在水中的糖的质量分数增大为=（a+m)/(b+m)*100%

溶液质量大于溶质质量大于0,b＞a＞0

从而得到结论a/b＜(a+m)/(b+m) （注意 m取值范围m＞0，m为实数)

从数学角度，我们则要进行计算，如下：

(a+m)/(b+m)-a/b

=[(a+m)b-(b+m)a]/(b+m)b

=m(b-a)/(b+m)b

其中(b+m)b 为分母，(b+m)b＞0

m(b-a)为分子，由b＞a＞0，可知m(b-a)＞0

所以m(b-a)/(b+m)b ＞0

即(a+m)/(b+m)-a/b＞0

可知(a+m)/(b+m)＞a/b

从而得到结论a/b＜(a+m)/(b+m) （注意 m取值范围m＞0，m为实数)

均值不等式的证明

证明方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

下面介绍个好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，

则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]

设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数

所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)

即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)

糖水不等式的证明方法

有分数 ，在分子分母同时加上一个 ，即：

则用作差法表示为：

∵ab0,c0

∴

∴一个真分数在分母分子同时加上一个正数时，分数将变大。正如同糖水里加糖会越来越甜。

糖水不等式：

成立。 根据作商法可知：

若糖水不等式成立，则不等式：

也成立。

由不等式左边得：

即：

∵ab0且c0

∴ab0,acbc0

即：

∴不等式：

成立，糖水不等式：

也成立。 由不等式的基本性质和糖水不等式有：

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

∵c0

∴此不等式成立，糖水不等式：

也成立。 1.综合法

2.构造函数法

3.定比分点公式法

糖水中的不等式：

a／b＜a＋m／b＋m

2011/2012＜(2011+1)/(2012+1)，(2012)/(2013)＜(2011+2)/(2012+2)

∴2011/2012＜2012/2013＜2013/2014

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