分式复习（分式的讲解）

今天给各位分享分式复习的知识，其中也会对分式的讲解进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

八年级数学

八年级下数学各章知识要点

第17章 分式复习要点

1、形如AB（A、B都是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。整式和分式统称有理式。

2、分母≠0时，分式有意义。分母＝0时，分式无意义。

3、分式的值为0，要同时满足两个条件：分子＝0，而分母≠0。

4、分式基本性质：分式的分子、分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

5、分式、分子、分母的符号，任意改变其中两个的符号，分式的值不变。

6、分式四则运算

1）分式加减的关键是通分，把异分母的分式，转化为同分母分式，再运算．

2）分式乘除时先把分子分母都因式分解，然后再约去相同的因式。

3）分式的混合运算，注意运算顺序及符号的变化，

4）分式运算的最后结果应化为最简分式或整式．

7、分式方程

1）分式化简与解分式方程不能混淆．分式化简是恒等变形，不能随意去分母．

2）解分式方程的步骤：第一、化分式方程为整式方程；第二，解这个整式方程；第三，验根，通过检验去掉增根。

3）解有关应用题的步骤和列整式方程解应用题的步骤是一样的：设、列、解、验、答。

第18章 函数及图象的复习要点

1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴上的点与实数一一对应。数轴上的点A、B的坐标为x1、x2, 则AB＝ 。

2、具有公共原点且互相垂直的两条数轴就构成平面直角坐标系。坐标平面内的点与有序实数对一一对应。

3、坐标轴上的点不属于任何象限。x轴上的点纵坐标y＝0；y轴上的点横坐标x＝0。

第一象限内的点x0,y0；第二象限内的点x0,y0；第三象限内的点x0,y0；第四象限内的点x0,y0；

由此可知，x轴上方的点，纵坐标y＞0；x轴下方的点，纵坐标y＜0；y轴左边的点，横坐标x＜0；y轴右边的点，横坐标x＞0.

4、关于某坐标轴对称的点，这个轴的坐标不变，另一个轴的坐标互为相反数。关于原点对称的点，纵、横坐标都互为相反数。关于第一、三象限角平分线对称的点，横纵坐标交换位置；关于第二、四象限角平分线上对称的点，不但横纵坐标交换位置，而且还要变成相反数。

5、第一、三象限角平分线上的点，横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点，横纵坐标互为相反数。

6、在一个变化过程中，存在两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一的一个值与之对应，我们就说y是x的函数。x是自变量，y是因变量。 函数的表示方法有：解析式法、图象法、列表法。

7、函数自变量的取值范围：①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．④函数的解析式是负整指数和零指数时，底数≠0；⑤对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．

8、如果y＝kx ＋ b ( k、b是常数，k≠0),那么，y叫x的一次函数。如果y＝kx (k是常数，k 0),那么，y叫x的正比例函数。

9、点在函数的图象上的代数意义是：这一点的坐标满足函数的解析式。两个函数有交点的代数意义是：两个函数的解析式组成的方程组的解就是交点的坐标。

10、一次函数y＝kx＋b的性质：

（1）一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y轴。

（2）当k0时，图象过一、三象限，y随x的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）；

（3）当k0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低）；

（4）当b0时，与y轴的交点（0，b）在正半轴；当b0时，与y轴的交点(0,b)在负半轴。当b＝0时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线

（5）几条直线互相平行时 ，k值相等而b不相等。

11、如果y＝kx ( k是常数，k≠0),那么，y叫x的反比例函数。

12、反比例函数y＝kx的性质：

（1）反比例函数的图象是双曲线，图象无限的靠近于x、y轴。

（2）当k0时，图象的两个分支位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，从左至右图象是下降的（左低右高）；

（3）当k0时，图象的两个分支位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，从左至右图象是上升的（左高右低）。

（4）反比例函数y＝kx与正比例函数y＝k x的交点关于原点对称。

第19章 全等三角形

1、判断正确或错误的句子叫做命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．

2、命题是由题设、结论两部分组成的．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论．

3、直角三角形的两个锐角互余．

4、三角形全等的判定：

方法1：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S.A.S.（或边角边）．

方法2：如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.S.A.（或角边角）

方法3：如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.A.S.（或角角边）．

方法4：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S.S.S（或边边边）.

方法5（只能用于直角三角形）：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为H.L.（或斜边、直角边）．

5、一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．

6、如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．

7、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）

8、如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（勾股定理的逆定理）

9、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.

10、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

第20章 平行四边形的判定

1、四边形的内角和定理：四边形内角和等于360°；

2、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)×180°；

3、多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°；

4、n边形对角线条数公式：n(n－3)2(n≥3)；

5、中心对称：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称。

6、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够和原来的图形互相重合，那么就说这个图形叫做中心对称图形。

7、中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

8、平行四边形的性质和判定

类别 性质 判定

边 角 对角线 对称性 边 角 对角线

平行四边形 ①对边平行②对边相等 ①对角相等

②邻角互补 对角线互相平分 中心对称 ①两组对边分别分别平行的四边形是平行四边形②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形

矩形 ①对边平行②对边相等 四个角都是直角 ①对角线互相平分

②对角线相等 中心对称，轴对称 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形

②有三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形是矩形

菱形 ①对边平行②四边相等 ①对角相等②邻角互补 ①对角线互相垂直平分

②对角线平分每一组对角 中心对称，轴对称 ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形

②四条边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

正方形 ①对边平行

②四边相等 四个角都是直角 ①对角线互相垂直平分

②对角线平分每一组对角 中心对称，轴对称 一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

等腰梯形 ①两底平行②两腰相等 同一底上的两个角相等 对角线相等 轴对称 两腰相等的梯形是等腰梯形 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 对角线相等的梯形是等腰梯形

第21章 数据的整理与初步处理

1、平均数＝总量÷总份数。数据的平均数只有一个。

一般说来，n个数 、 、…、 的平均数为 ＝1n(x1+x2+…xn)

一般说来，如果n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次，且f1＋f2＋… ＋fk＝n则这n个数的平均数可表示为x＝x1f1+x2f2+…xkfkn。其中fin是xi的权重（i＝1，2…k）。

加权平均数是分析数据的又一工具。当考虑不同权重时，决策者的结论就有可能随之改变。

2、将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列（即使有相等的数据也要全部参加排列），如果数据的个数是奇数，那么中位数就是中间的那个数据。如果数据的个数是偶数，那么中位数就是中间的两个数据的平均数。一组数据的中位数只有一个，它可能是这组数据中的一个数据，也可能不是这组数据中的数据．

3、一组数据 *** 现的次数最多的数据就是众数。一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数（当某一组数据中所有数据出现的次数都相同时，这组数据就没有众数）．

4、一组数据中的最大值减去最小值就是极差：极差＝最大值－最小值

5、我们通常用 表示一组数据的方差，用 表示一组数据的平均数， 、 、…、 表示各个原始数据．则

( 平方单位)

求方差的方法：先求平均数，再求偏差，然后求偏差的平方和，最后再平均数

6、求出的方差再开平方，这就是标准差。

7、平均数、极差、方差、标准差的变化规律

一组数据同时加上或减去一个数,极差不变，平均数加上或减去这个数,方差不变,标准差不变

一组数据同时乘以或除以一个数,极差和平均数都乘以或除以这个数,方差乘以或除以该数的平方,标准差乘以或除以这个数。

一组数据同时乘以一个数a，然后在加上一个数b，极差乘以或除以这个数a，平均数乘以或除以这个数a，再加上b,方差乘以a的平方，标准差乘以|a|. (加减的数都不为0)

数学分式 知识点归纳与复习

第17课时 《分式》 知识回顾

一、目标再现

1．切实掌握分式的概念，分式的基本性质，能熟练地进行分式变形及约分通分．

2．能准确、熟练地进行分式的乘除、加减以及混合运算．

3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能进行有关负整数指数幂的运算．

4．明确解分式方程的步骤，并能列出可化为一元一次方程的分式方程解决简单的实际问题．

　二、知识网络

　三、思想方法

1．转化思想

转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法 分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法 同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程 整式方程，从而得到分式方程的解等．

2．建模思想

本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．

3．类比法

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

四、考点例析

分式是初中数学的重要内容之一，复习时不但要熟练掌握基本知识，更要把握好本章的考点． 现以中考题为例，归类说明．

考点1：分式的概念和性质

【知识要点】

1．在分式中，如果________则分式无意义；如果________且________不为零时，则分式的值为零．

2、分式的基本性质用字母表示为__ .

3、分式的分子、分母和分式本身的符号改变其中任何________个，分式的值不变．

【典题解析】

例1　（1）已知分式 的值是零，那么x的值是（）

A．-1　B．0　C．1　D．±1

（2）当x________时，分式 没有意义．

例2　下列各式从左到右的变形正确的是（）

　A． B．

C． D．

考点2：分式的化简与计算

【知识要点】

1．分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的公因式．

2．最简公分母的确定：一是取各分母所有系数的 ；二是取各分母所有字母因式的 的积．

3．分式的加减法法则表示为： ______； ________．

4．分式的乘除法法则表示为： _______； ________．

【典题解析】

例3　计算 的结果是________．

例4　计算 ．

例5　化简 ．

考点3：分式条件求值

【知识要点】

根据考点2的知识要点，先将分式进行化简，然后代入求值，这是最基本的解题方法． 但是具体问题要具体分析，许多题目若能采取解题技巧，如，整体代入法等，解法会更简明，且不容易出错．

【典题解析】

例6　先化简下列代数式，再求值： ，其 中（结果精确到0.01）．

解：原式 ．

当 时，原式 ．

　例7　先化简代数式： ，然后选取一个使原式有意义的 x的值代入求值．

解：原式 ．

当x=2时，原式 ．

说明：只要选择的数不等于±1即可．

考点4：可化为一元一次方程的分式方程

【知识要点】

解分式方程的一般步骤是：

①在方程的两边都乘_______，约去分母，化成_______；②解这个_______；③把解得的根代入_______，看结果是不是零，使________为零的根是原方的________,必须舍去．

【典题解析】

例8　解方程 ．

解：原方程变形 ．

方程两边都乘以x－3，得

2－x=（x－3）＋1．

解这个方程，得x=2．

检验：当x=2时，x－3=－1．所以x=2是原方程的解．

例9　某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元．已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格．

分析：利用 ，抓住“今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米”便可建立方程求解．

解：设该市去年居民用水的价格为x元/立方米，则今年用水价格为（1+25％）x元/立方米．根据题意，得 ．解这个方程，得x=1.8．经检验，x=1.8是原方程的解，则（1+25％）x=2.25（元/立方米）．

答：该市今年居民用水的价格为2.25元/立方米．

分式方程计算题100道 及答案

一、复习例解方程：(1)2x+xx+3=1;(2)15x=2×15x+12;(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.解(1)方程两边都乘以x(3+3),去分母，得2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6所以x=6.检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.(2)方程两边都乘以x(x+12)，约去分母，得15(x+12)=30x.解这个整式方程，得x=12.检验：当x=12时,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.(3)整理，得2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2x+3=1,即2x+xx+3=1.方程两边都乘以x(x+3)，去分母，得2(x+3)+x2=x(x+3),即2x+6+x2=x2+3x,亦即2x－3x=－6.解这个整式方程，得x=6.检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.二、新课例1一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?请同学根据题意，找出题目中的等量关系.答：骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米)；骑车的速度=步行速度的2倍；骑车所用的时间=步行的时间－0.5小时.请同学依据上述等量关系列出方程.答案：方法1设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为15x=2×15x+12.方法2设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意列方程为15x－152x=12.解由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程.方程两边都乘以2x，去分母，得30－15=x，所以x=15.检验：当x=15时，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意.所以骑车追上队伍所用的时间为15千米30千米／时=12小时.答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟.指出：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离时间.如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程.例2某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天?分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是s=mt,或t= *** ，或m=st.请同学根据题中的等量关系列出方程.答案：方法1工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天，设工程总量为1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依题意，列方程为2(1x+1x3)+x2－xx+3=1.指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量.方法2设规定日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程2x+xx+3=1.方法3根据等量关系，总工作量—甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x天，则可列方程1－2x=2x+3+x－2x+3.用方法1～方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了.重点是找等量关系列方程.三、课堂练习1.甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.2.A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.答案：1.甲每小时加工15个零件，乙每小时加工20个零件.2.大，小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时.四、小结1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷.例如在课堂练习中的第2题，若题目的条件不变，把问题改为求大、小两辆汽车从A地到达B地各用的时间，如果设直接未知数，即设，小汽车从A地到B地需用时间为x小时，则大汽车从A地到B地需(x+5－12)小时，依题意，列方程135x+5－12：135x=2：5.解这个分式方程，运算较繁琐.如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A地到B地的时间，运算就简便多了.五、作业1.填空：(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______;(3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.2.列方程解应用题.(1)某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?(2)某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?(3)已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?(4)A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知两车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度.答案：1.(1)mnm+n;(2)ma－b－ma;(3)maa+b.2.(1)第二次加工时，每小时加工125个零件.(2)步行40千米所用的时间为404=10(时).答步行40千米用了10小时.(3)江水的流速为4千米／时.课堂教学设计说明1.教学设计中，对于例1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例2，引导学生依据题意，用三种不同的方法列出方程.这种安排，意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯.这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间.2.教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用.例1是行程问题，其中距离是已知量，求速度(或时间)；例2是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间(或工作效率).这些都是运用列分式方程求解的典型问题.教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么.学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路.3.通过列分式方程解应用题数学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器.方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容.如何通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为x，这时就把它作为一个实实在在的量.通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是“以假当真”.通过解方程求得问题的解，原先假设的未知量x就变成了确定的量，这就是“弄假成真”.

八年级（人教版） 数学《分式》复习测试题加答案

第16章分式复习测试题（一）

班别________姓名___________分数_________

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.使代数式有意义的的取值范围是（ ）

A. B. C.且 D.一切实数

2.若分式的值为0,则( ) A. x=-2 B. x=0 C.x=1或x=-2 D. x=1

3.下列计算正确的是（）A．－|－3|=－3 B．3=0 C．3=－3 D． =±3

4.已知，则的值是（ ）A. B.－ C.2 D.－2

5．下列计算错误的是（）

A．B．C．D．

6.化简的结果是（ ）A.+1 B. -1 C.— D.

7.分式方程的解是（ ）[A. B. C. D.无解

8.某乡镇决定对一段长6 000米的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，每天修健的公路比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务．设原计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（ ）

A.＋4＝ B. ＝－4

C.－4＝ D. ＝＋4

9.甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

10.在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个甲型包装箱可装个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（ ）

A、 B、

C、 D、

二、选择题（每空2分，共20分）

1.当 时，分式有意义；已知实数x 满足x+=3，则x2+的值为_________.

2．计算－(－2)－2－(－2)0＝____ ；化简÷=

3.已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为

4.当x 时，分式的值比分式的值大3。方程的解是

5.若关于x的方程+=2有增根,则m的值是_________

6.今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的 *** 使用，某款定速空调在条列实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用1万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为______元。

7.某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为 ___________________________。

三、解答与计算题(共70分)

1.计算（每小题4分，共16分）

（1） （2）计算：.

（3）计算： （4）计算：

2. （5分）已知， 3.（5分）先化简，再求值：

求的值．[来%^~源#:中 教网] ，其中

4. （5分）解方程： 5. （5分）解方程：．

6. （6分）有一道题：“先化简再求值：( + )÷，其中x=－”，小明做题时把“x=－”错抄成了“x=”，但他的计算结果也正确，请你通过计算解释这是为什么？

7.（8分）某校为了创建书香校园，去年又购进了一批图书．经了解，科普书的单价比文学

书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等．

（1）求去年购进的文学羽和科普书的单价各是多少元？

（2）若今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用1000元再购进一批

文学书和科普书，问购进文学书55本后至多还能购进多少本科普书？

8.（6分）八年级学生到距离学校15千米的农科所参观，一部分学生骑自行车先

走，过了40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达．若汽车的速度是骑自行车

同学速度的3倍，求骑自行车同学的速度．

9.（6分）今年四、五月份我国西南地区遭遇历史罕见的旱灾，我国最大淡水湖鄱阳湖水位下降到历史同期最低点. 某村有1 200亩稻田急需灌溉，为了提高灌溉效率，当地 *** 增派灌溉车辆，使得效率是原来的1.5倍，结果提前10天完成任务，求原计划每天灌溉稻田多少亩？

10．（8分）甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．

（1）问乙单独整理多少分钟完工？

（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？

7.【答案】解：（1）设文学书的单价是元，则科普书的单价是（＋4）元

根据题意，得＝，解得＝8。

经检验，＝8是原方程的根。

当＝8时，＋4＝12。

答：文学书的单价是8元，则科普书的单价是12元

（2）依题意，得(1000－8×55)÷12＝46。

答：还能购进46本科普书。

8.【答案】解：设骑自行车同学的速度为x千米/小时，由题意得

－＝，解之得：x＝15。

经检验，x＝15是原方程的解。

答：骑自行车同学的速度为15千米/小时。

9.【答案】解：设原计划每天灌溉稻田x亩。

根据题意，得―＝10。

解得x＝40。

经检验：x＝40是原方程的解。

答：原计划每天灌溉稻田40亩。

10.【答案】解：（1）设乙单独整理分钟完工，根据题意得，

，解得，=80，

经检验=80是原分式方程的解。

答：乙单独整理80分钟完工。

（2）设甲整理分钟完工，根据题意得，

，解得，≥25，

答：甲至少整理25分钟完工。

初中数学分式的教案

教案通常又叫课时计划，包括时间、方法、步骤、检查以及教材的组织等。它是教学成功的重要依据。鉴于教案的重要性，下文精心准备了这篇初二上册数学全等三角形教案，我们一起来阅读吧!下面是我分享给大家的初中数学分式的教案的资料，希望大家喜欢!

初中数学分式的教案一

一、教学目标

1.使学生理解并掌握分式的概念，了解有理式的概念;

2.使学生能够求出分式有意义的条件;

3.通过类比分数研究分式的教学，培养学生运用类比转化的思想方法解决问题的能力;

4.通过类比方法的教学，培养学生对事物之间是普遍联系又是变化发展的辨证观点的再认识.

二、重点、难点、疑点及解决办法

1.教学重点和难点 明确分式的分母不为零.

2.疑点及解决办法 通过类比分数的意义，加强对分式意义的理解.

三、教学过程

【新课引入】

前面所研究的因式分解问题是把整式分解成若干个因式的积的问题，但若有如下问题：某同学

分钟做了60个仰卧起坐，每分钟做多少个?可表示为，问，这是不是整式?请一位同学给它试命名，并说一说怎样想到的?(学生有过分数的经验，可猜想到分式)

【新课】

1.分式的定义

(1)由学生分组讨论分式的定义，对于“两个整式相除叫做分式”等错误，由学生举反例一一加以纠正，得到结论：

(2)由学生举几个分式的例子.

(3)学生小结分式的概念中应注意的问题.

①分母中含有字母.

②如同分数一样，分式的分母不能为零.

(4)问：何时分式的值为零?[以(2)中学生举出的分式为例进行讨论]

2.有理式的分类

请学生类比有理数的分类为有理式分类：

(五)随堂练习

八、布置作业

教材P56中A组3、4;B组(1)、(2)、(3).

九、板书设计

课题　例1

1.定义例2

2.有理式分类

初中数学分式的教案二

中考数学分式复习

课型 复习课 教法 讲练结合

教学目标(知识、能力、教育) 1. 了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感.

2.熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力.

3.能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识.

4.通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值

教学重点 分式的意义、性质，运算与分式方程及其应用

教学难点 分式方程及其应用

教学媒体 学案

教学过程

一：【课前预习】(一)：【知识梳理】

1.分式有关概念

(1)分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：

①当____________时分式有意义。②当___ _________时分式没有意义。③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。

(2)最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。

(3)约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。将一个分式约分的主要步骤是：把分 式的分子与 分母________，然后约去分子与分母的_________。

(4)通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的___________ 。

(5)最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先 ;②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数;③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除;④若分母的系 数是负数，一般先把“-”号提到分式本身的前边。

2.分式性质：

(1)基本性质：分式的分子与分母都乘以 (或除以)同一个 ，分式的值 .即：

(2)符号法则：____ 、____ 与___ _______的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。即：

3.分式的运算： 注意：为运算简便，运用分式

的基本性质及分式的符号法

则：

①若分式的分子与分母的各项

系数是分数或小数时，一般要化为整数。

②若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。

(1)分式的加减法法则：( 1)同分母的分式相加减， ，把分子相加减;(2)异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进行计算

(2)分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________;分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式： ;

(3)分式乘方是____________________，公式_________________。

4.分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。

5.对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值.

(二)：【课前练习】

1. 判断对错： ①如果一个分式的值为0，则该分式没有意义( )

②只要分子的值是0，分式的值就是0( )

③当a≠0时，分式 =0有意义( ); ④当a=0时，分式 =0无意义( )

2. 在 中，整式和分式的个数分别为( )

A.5，3 B.7，1 C.6，2 D.5，2

3. 若将分式 (a、b均为正数)中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则

分式的值为( )

A.扩大为原来的2倍 ;B.缩小为原来的 ;C.不变;D.缩小为原来的

4.分式 约分的结果是 。

5. 分式 的最简公分母是 。

二：【经典考题剖析】

1. 已知分式 当x≠______时，分式有意 义;当x=______时，分式的值为0.

2. 若分式 的值为0，则x的值为( )

A.x=-1或x=2 B、x=0 C.x=2 D.x=-1

3.(1) 先化简，再求值： ，其中 .

(2)先将 化简，然后请你自选一个合理的 值，求原式的值。

(3)已知 ，求 的值

4.计算:(1) ;(2) ;(3)

(4) ;(5)

5. 阅读下面题目的计算过程：

= ①

= ②

= ③

= ④

(1)上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。

(2)错误原因是 。

(3)本题的正确结论是 。

三：【课后训练】

1. 当x取何值时，分式(1) ;(2) ;(3) 有意义。

2. 当x取何时，分式(1) ;(2) 的值 为零。

3. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。

(1) ;(2)

4. 若 ，则 = 。

5. 已知 。则 分式 的值为 。

6. 先化简代数式 然后请你 自取一组a、b的值代入求值.

7. 已知△ABC的三边为a，b，c， = ，试判定三角形的形状.

8. 计算：(1) ;(2)

(3) ;(4)

9. 先阅读下列一段文字，然后解答问题：

已知：方程 方程

方程 方程

问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x-10 =10 的解，并写出检验.

10. 阅读下面的解题过程，然后解题：

已知 求x+y+z的值

解：设 =k,

仿照上述方法解答下列问题：已知：

四：【课后小结】

初中数学分式的教案三

认识分式(一)

一、问题引入：

1. 叫分式.

2.对于任意一个分式，当 不为0时，分式有意义.

3.当分式的 为0，而 不为0时，分式的值为0.

二、基础训练：

1.代数式式①，②，③，④中，是分式的有( )

A.①② B.③④ C.①③ D.①②③④

2.分式中，当时，下列结论正确的是( )

A.分式的值为零; B.分式无意义

C.若时，分式的值为零; D.若时，分式的值为零

3.下列各式，，，，，0中，是分式的有___________;是整式的有___________;

4.当 时，分式无意义.

三、例题展示：

例1：(1)当=1,2时，分别求分式的值;

(2)当取何值时，分式有意义?

四、课堂检测：

1.下列各式中，可能取值为零的是( )

A. B. C. D.

2.下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是( )

A. B. C. D.

3.当______时，分式无意义.

4.当_______时，分式的值为零.

5.使分式无意义，x的取值是( )

A.0 B.1 C. D.

6.解答题：已知，取哪些值时：

(1)的值是零; (2)分式无意义.

7.下列分式，当取何值时有意义.

(1); (2).

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分式计算题

(/是分数线)

分式：

1、当1/x-1/y=5时，求分式(3x+5xy-3y)÷(x-3xy-y)的值。

答案：5/4

2、已知a+b+c=0,求a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)的值。

答案：－3

3、解方程：（x-8）/(x-3)-(x-9)/(x-4)=(x+7)/(x+8)-(x+2)/(x+3)

答案：x＝－2/3

4、当a为何值时，关于x的方程x/(x-3)=2+a/(x-3)会产生增根？

答案：当a＝3时，此分式方程会产生增根。

5、华联商厦进货员在苏州发现一种应季衬衫，预计能畅销，就用80000元购进所有衬衫，还急需2倍这种衬衫，经人介绍又在上海用176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元。商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按8折销售，很快售完，问这笔生意商厦赢利多少元？

答案：这笔生意赢利90260元。

6、小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合作需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独作4周后，剩下的由乙公司来作，还需9周才能完成，需工钱4.8万元。若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司还是乙公司？请你说明理由。

答案：从节约开支的角度考虑，应选乙公司单独完成。

7、对于分式（x-5）/(2x-1),当x_______时有意义，当x________时无意义。

答案：不等于1/2；1/2

8、方程(x-3)/(x-1)=m/(x-1)有增根，则增根为_____，m的值为______

答案：1；－2

1.(x+y)/y-2x/（x+y）+x^3/y(x^2-y^2)

2.a/(a-b)+a/(a+b)+2a^2/(a^2+b^2)+4a^4/(a^4+b^4)+8a^8/(a^8+b^8)

xyz=1

x y z

----- + ----- + ----- =?

xy+x+1 yz+z+1 zx+z+1

原式=x/(xy+x+xyz)+y/(yz+z+1)+yz/(xyz+yz+y)

=1/(y+1+yz)+y/(yz+z+1)+yz/(1+yz+y)

=(1+y+yz)/(1+y+yz)

=1

((x²-4/x²-4x+4)-(x-2/x+2))乘x-2/x

[(x^2-4)/(x^2-4x+4)-(x-2)/(x+2)]乘(x-2)/x

=[(x-2)(x+2)/(x-2)^2-(x-2)/(x+2)]乘(x-2)/x

=[(x+2)/(x-2)-(x-2)/(x+2)]乘(x-2)/x

=[(x+2)^2-(x-2)^2/(x-2)(x+2)]乘(x-2)/x

=[(x+2)^2-(x-2)^2]/[x(x+2)]

=[(x^2+4x+4-(x^2-4x+4)]/[x(x+2)]

=8x/[x(x+2)]

=8/(x+2)

已知2X^2+X+4Y^2+4XY=-4分之1,求(X+Y)^-2的值.

2x^2+x+4y^2+4xy=-1/4

2x^2+x+4y^2+4xy+1/4=0

(x^2+4xy+4y^2)+(x^2+x+1/4)=0

(x+2y)^2+(x+1/2)^2=0

x+2y=0

x+1/2=0

解得

x=-1/2

y=1/4

已知A+B+C=0，求证：（1/B^2+C^2-A^2）+1/C^2+A^2-B^2=1/C^2-A^2-B^2

a+b+c=0,

a=-(b+c),b=-(a+c),c=-(a+b).

1/(b^2+c^2-a^2)+1/(c^2+a^2-b^2)+1/(a^2+b^2-c^2)

=1/[b^2+c^2-(b+c)^2]+1/[c^2+a^2-(a+c)^2]+1/[a^2+b^2-(a+b)^2]

=1/(-2bc)+1/(-2ac)+1/(-2ab)

=-1/2*(a+b+c)/(abc)

=0

故（1/B^2+C^2-A^2）+1/C^2+A^2-B^2=1/C^2-A^2-B^2

1.若m等于它的倒数，则分式 （m的平方+4m+4）/（m的平方-4） /（m的平方+2m)/(m-2)的值为____________

2.填空-a+ab-b/a+b=-1+_____

3.(x的平方+9x)/(x的平方+3x)+(x的平方-9)/(x的平方+6x+9)

4.先化简，再求值；（1/x - 2/x的平方）/（1-2/x) 其中x=-3.5

5.先化简，再求值；(x-3/x的平方 ) / (x-3)/(x的平方+2x+1) - 1/x-1

其中x=根号2+1

6.计算 (a-1)/a / (a-1/a)

1.若m等于它的倒数，则分式 （m的平方+4m+4）/（m的平方-4） /（m的平方+2m)/(m-2)的值为__因为_若m等于它的倒数则，无论m=1或m=-1,_原式的值都为1

2.填空-a+ab-b/a+b=-1+b-b/a的平方+b/a

3.(x的平方+9x)/(x的平方+3x)+(x的平方-9)/(x的平方+6x+9).这题是不是化简？(x+9)*(x-3)/(x+3)

4.先化简，再求值；（1/x - 2/x的平方）/（1-2/x) 其中x=-3.5

化简:1/x,值=-2/7

5.先化简，再求值；(x-3/x的平方 ) / (x-3)/(x的平方+2x+1) - 1/x-1

其中x=根号2+1

式子意思不明“/”的意思是几分之几的话那么“(x的平方+2x+1) - 1/x-1 ”是指分母为x-1还是减x分之一？

6.计算 (a-1)/a / (a-1/a)

=(a-1)的平方/a 的平方

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