逆矩阵（逆矩阵运算法则）

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逆矩阵是什么意思？

逆矩阵的性质：

1、可逆矩阵是方阵。

2、矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT可逆，并且（AT）-1=（A-1）T 。

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。

6、两个可逆矩阵乘积依然是可逆的。

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

逆矩阵的唯一性：若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。

扩展资料：

如果矩阵A和B互逆，则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知，矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。

也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是方阵，且rank(A) = rank(B) = n）。

证明：

1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。

设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C

2、假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

3、由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。

4、矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I

5、由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

参考资料来源：百度百科——逆矩阵

求逆矩阵的简便方法

求逆矩阵的简便方法如下：

1、待定系数法。

2、伴随矩阵求逆矩阵。

3、初等变换求逆矩阵。

待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。

伴随矩阵是矩阵元素所对应的代数余子式，所构成的矩阵，转置后得到的新矩阵。我们先求出伴随矩阵A*=-3，-2，1 , 1。接下来，求出矩阵A的行列式|A|=1*(-3) - (-1)* 2=-3+2=-1。从而逆矩阵A⁻¹=A*/|A| =A*/(-1)=-A*=3, 2，-1,-1。

初等变换求逆矩阵首先，写出增广矩阵A|E，即矩阵A右侧放置一个同阶的单位矩阵，得到一个新矩阵。

1，2，1，0，-1，-3，0，1。然后进行初等行变换。依次进行第1行加到第2行，得到1，2，1，0，0，-1，1，1。第2行×2加到第1行，得到1，0，3，2，0，-1，1，1。第2行×(-1)，得到1，0，3，2，0，1，-1，-1。

什么是逆矩阵？

具体回答如下：

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

性质定理：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

扩展资料：

若|A|≠0，则矩阵A可逆，且其中，A*为矩阵A的伴随矩阵。

证明：

必要性：当矩阵A可逆，则有AA-1=I 。（其中I是单位矩阵）

两边取行列式，det（AA-1）=det（I）=1。

由行列式的性质：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1则det（A）≠0，（若等于0则上式等于0）

充分性：有伴随矩阵的定理，有  （其中  是的伴随矩阵。）

当det（A）≠0，等式同除以det（A），变成 

比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵 

参考资料：百度百科——逆矩阵

逆矩阵怎么求?

逆矩阵的求法：

1、利用定义求逆矩阵

设A、B都是n阶方阵， 如果存在n阶方阵B 使得AB=BA=E， 则称A为可逆矩阵， 而称B为A的逆矩阵。

2、运用初等行变换法

将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵B=（A，I]）对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。

3、增广矩阵法

如果要求逆的矩阵是A，则对增广矩阵（A E）进行初等行变换，E是单位矩阵，将A化到E，此时此矩阵的逆就是原来E的位置上的那个矩阵，原理是 A逆乘以（A E）= （E A逆）初等行变换就是在矩阵的左边乘以A的逆矩阵得到的。

4、待定系数法

待定系数法顾名思义就是对未知数进行求解。用一个新的包含未定因子的多项式来表达多项式，从而获得一个恒等式。接着，利用恒等式的特性，推导出一类系数必须满足的方程或方程，再由方程组或方程组得到待确定的系数，或确定各系数之间的对应关系，称为待定系数法。

逆矩阵是什么

设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。 扩展资料

定理：

（1）逆矩阵的唯一性。

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的.，并记作A的逆矩阵为A-1。

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m。

对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。

（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵。

推论：满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。

逆矩阵的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于逆矩阵运算法则、逆矩阵的信息别忘了在本站进行查找喔。