傅里叶级数（傅里叶级数数三要考吗）

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什么是傅里叶级数？

傅里叶级数

Fourier series

一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

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傅里叶级数的公式

给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：

mathx(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi})t}/math（j为虚数单位）（1）

其中，matha_k/math可以按下式计算：

matha_k=\frac\int_x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi})t}/math（2）

注意到mathf_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi})t}/math是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，mathk=\pm 1/math时具有基波频率math\omega_0=\frac{2\pi}/math，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

傅里叶级数的收敛性

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，x(t)须绝对可积；

在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；

在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

三角函数族的正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

math\int _^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;/math

math\int _^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math

math\int _^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math

math\int _^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;/math

math\int _^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;/math

奇函数和偶函数

奇函数mathf_o(x)/math可以表示为正弦级数，而偶函数mathf_e(x)/math则可以表示成余弦级数：

mathf_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx);/math

mathf_e(x) = \frac+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx);/math 只要注意到欧拉公式: mathe^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta/math，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

广义傅里叶级数

任何正交函数系math\{ \phi(x)\}/math，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程：

math\int _^f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^_/math (4)，

那么级数math\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x)/math (5) 必然收敛于f(x)，其中:

mathc_n=\int _^f(x)\phi_n(x)\,dx/math (6)。

事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：

math\int _^f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^_/math成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基math\{e_i\}^_{i=1}/math，向量x在mathe_i/math上的投影总为mathx,e_i/math 。

傅里叶级数有什么用啊？

傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。

在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。

他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。

扩展资料：

收敛性

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；

在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

参考资料：百度百科-傅里叶级数

傅里叶级数展开式是什么？

傅里叶级数展开公式如下：

傅里叶级数像三角波，矩形波，梯形波这种波形不连续，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以，在这种情况下，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形，可以很好的优化模型。

傅里叶展开式收敛性判别

至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题 *** 现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。

在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：在定义区间上，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

以上资料参考：百度百科-傅里叶展开式

傅里叶级数一般公式

傅里叶级数一般公式是f（t）=A0+∑Ansin（nωt+Φn），法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）。

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

傅里叶级数是傅里叶在研究哪种物理现象时提出的?

傅里叶级数是傅里叶在研究热传导现象时提出的。

傅里叶在研究热传导方程时继承了前人研究天文理论 *** 震动方程的方法,直观地断定每一个周期函数都可以表示为三角级数，但他并没有给出一个函数可以展开为三角级数的条件，也没有给出严格的证明，尽管如此，傅里叶将、欧拉、黎曼等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展为内容丰富的一般理论，从而开创了数学物的一个时代。在当代，傅里叶级数在物理学、计算机、移动通信等学科具有非常广泛的应用，同时也是处理工程学中诸多问题不可或缺的理论工具，在图案设计中，通过傅里叶级数的变换，可以设计出许多精美的图案，在铁路客运量预测中，通过傅里叶级数预测法，可以为铁路部门安排车次提供可靠的理论依据。

对于周期函数，我们总是把它表示成三角函数组成的级数——傅里叶级数，下面我们进一步研究函数的傅里叶级数展开问题.

/// 函数展开成傅里叶级数 ///

现在的问题是：

f(x)满足什么条件才能保证级数式①收敛，并且它的和函数等于f(x)？

下面给出的收敛定理就回答了这个问题

/// 正弦级数和余弦级数 ///

由傅里叶系数公式可见，

于是有如下定理:

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