对数螺线（对数螺线求导）

今天给各位分享对数螺线的知识，其中也会对对数螺线求导进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

对数螺线的弧长公式

对数螺线的弧长公式是r=e^θ，对数螺线一般指等角螺线，指的是臂的距离以几何级数递增的螺线，设L为穿过原点的任意直线，则L与等角螺线的相交的角A永远相等。

等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，等角螺线的渐屈线和垂足线都是等角螺线。从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由该任意点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。

对数螺旋线有什么特点

早在2000多年以前,古希腊数学家阿基米德就对螺旋线进行了研究.公元1638年,著名数学家笛卡尔首先描述了对数螺旋线,并列出了螺旋线的解析式.这种螺旋线有很多特点,其中最突出的一点则是它的形状,无论你把它放大或缩小都不会改变.就像我们不能把角放大或缩小一样.

当我们观察着园蛛,尤其是丝光蛛和条纹蛛的网时,我们会发现它的网并不是杂乱无章的,那些辐排得很均匀,每对相邻的辐所交成的角都是相等的；虽然辐的数目对不同的蜘蛛而言是各不相同的,可这个规律适用于各种蜘蛛.

我们已经知道,蜘蛛织网的方式很特别,它把网分成若干等份,同一类蜘蛛所分的份数是相同的.当它安置辐的时候,我们只见它向各个方向乱跳,似乎毫无规则,但是这种无规则的工作的结果是造成一个规则而美丽的网,像教堂中的玫瑰窗一般.即使他用了圆规、尺子之类的工具.没有一个设计家能画出一个比这更规范的网来.

我们可以看到,在同一个扇形里,所有的弦,也就是那构成螺旋形线圈的横辐,都是互相平行的,并且越靠近中心,这种弦之间的距离就越远.每一根弦和支持它的两根辐交成四个角,一边的两个是钝角,另一边的两个是锐角.而同一扇形中的弦和辐所交成的钝角和锐角正好各自相等——因为这些弦都是平行的.

不但如此,凭我们的观察,这些相等的锐角和钝角,又和别的扇形中的锐角和钝角分别相等,所以,总的看来,这螺旋形的线圈包括一组组的横档以及一组组和辐交成相等的角.

这种特性使我们想到数学家们所称的“对数螺线”.这种曲线在科学领域是很著名的.对数螺线是一根无止尽的螺线,它永远向着极绕,越绕越靠近极,但又永远不能到达极.即使用最精密的仪器,我们也看不到一根完全的对数螺线.这种图形只存在科学家的假想中,可令人惊讶的是小小的蜘蛛也知道这线,它就是依照这种曲线的法则来绕它网上的螺线的,而且做得很精确.

这螺旋线还有一个特点.如果你用一根有弹性的线绕成一个对数螺线的图形,再把这根线放开来,然后拉紧放开的那部分,那么线的运动的一端就会划成一个和原来的对数螺线完全相似的螺线,只是变换了一下位置.这个定理是一位名叫杰克斯．勃诺利的数学教授发现的,他死后,后人把这条定理刻在他的墓碑上,算是他一生中最为光荣的事迹之一.

对数螺线Θ属于 -π到π时是指图形中的哪一部分呀

对数螺线 -π到π是一个螺旋线，不是封闭的图形。在θ=π，或者θ=-π时不连接，θ=π是为了使图形成为封闭图形的。

对数螺线是一种特殊曲线。指在极坐标系中，极半径ρ的对数与极角θ的比为常数的点M(ρ，θ)的轨迹。它的极坐标方程为。式中，a、k为常数，e为自然对数的底。对数螺线上点M(ρ，θ)的切线与极半径OM的夹角α都相等(cot α=k)，因而亦称它为等角螺线。当极角按算术级数增加时，对数螺线的极半径按几何级数增加。

扩展资料：

对数螺线性质：

1、对数螺线关于极点O的垂足曲线和反演图形仍然是与原曲线全等的对数螺线，仅位置有所不同。对数螺线的渐伸线和渐屈线也都是对数螺线。

2、等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。

3、等角螺线的渐屈线和垂足线都是等角螺线。

4、从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由该任意点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发现的。（指数函数的取值范围为负无穷到正无穷，x轴是渐近线，因此极径r永远不会等于0，也即无法到达原点o）

参考资料来源：百度百科-对数螺线

对数螺线方程如何解

填空：对数螺线ρ=e^θ在点处切线的直角坐标方程为________。

x+y=e^(π/2).

详解一，对数螺线方程ρ=e^θ在点θ=π/2处的切线直角坐标系方程见附图；

详解二：

对数螺线方程ρ=e^θ可化为隐函数方程：

ln√[x^2+y^2]=arctan(y/x),

利用隐函数求导法，求得在点[0，e^(π/2)]处的导数为y'(0)=-1，

故所求在点（ρ,θ)处的切线方程是：

y-e^(π/2)=-1(x-0)=-x,

即x+y=e^(π/2).

对数螺线是什么

对数螺线是一根无止尽的螺线,它永远向着极绕,越绕越靠近极,但又永远不能到达极.据说,使用最精密的仪器也看不到一根完全的对数螺线,这种图形只存在科学家的假想中.螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：ρ=αe^(kφ) 其中,α和k为常数,φ是极角,ρ是极径,e是自然对数的底.为了讨论方便,我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”.因此,“自然律”的核心是e,其值为2.71828……,是一个无限不循环小数.对数螺线在自然界中最为普遍存在,其它螺线也与对数螺线有一定的关系,不过目前我们仍未找到螺线的通式.

为什么自然界中存在这么多的对数螺线呢？

因为对数螺线具有等角性，受环境影响，很多直线运动会转变为等角螺线运动。

我们以飞蛾扑火为例

亿万年来，夜晚活动的蛾子等昆虫都是靠月光和星光来导航，因为天体距离很远，这些光都是平行光，可以作为参照来做直线飞行。如下图所示，注意蛾子只要按照固定夹角飞行，就可以飞成直线，这样飞才最节省能量。

但自从人类学会了使用火，这些人造光源因为很近，光线成中心放射线状，可怜的蛾子就开始倒霉了。

蛾子还以为按照与光线的固定夹角飞行就是直线运动，结果越飞越坑爹，飞成了等角螺线，最后飞到火里去了，这种现象还被人类称为昆虫的正趋光性。

蛾子说：

趋你妹的光啊，傻瓜才瞪着光飞，不知道会亮瞎眼啊？！！

我们完全被人类误导了，亿万年才演化出的精妙直线导航方法，被人类的光污染干扰失效了！

不用假慈悲的飞蛾扑火纱罩灯了，凸(#)凸，赶紧把灯关了吧！

注意下图飞虫都在做螺线飞行，如果昆虫有趋光性。直飞不是更好吗？

不要以为只有蛾子会这样，人在用指南针导航时也有同样的问题。

根本原因是原来作为参考的平行场变成了中心发散的场，导致直线运动变成了螺线运动。

我们也知道，绝对平行的场在自然界中是不存在的，只是我们为了计算方便，在小范围内近似认为平行而已。如果把尺度放大了看，更多的场是不平行的、是发散的，所以自然界中大量存在等角螺线现象就很正常了。

例如理想状态下，流体应该是直线运动的，但在发散场和地球自转的作用下，就会像飞蛾一样走出类似等角螺线的形状，天上的台风和水中的漩涡就是这样形成的，不过实际情况远比这要复杂，只能近似这样考虑。

关于对数螺线还有一个小笑话。

对数螺线是笛卡儿在1638年发现的，雅各布伯努利也做了研究，并发现了许多非常优美的特性，经过各种变换，结果还保持原来的样子。

他十分惊叹和欣赏这种美，要求死后自己的墓碑上一定要刻上对数螺线，以及墓志铭“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。

结果石匠同志误将阿基米德螺线刻了上去，雅各布九泉有知一定会把棺材掀翻的！

阿基米德螺线是这样的：

常人的确看不出区别，你能看出来吗？千万不要搞混啊！

对数螺线的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于对数螺线求导、对数螺线的信息别忘了在本站进行查找喔。