卷积定理（卷积定理公式）

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相关卷积定理

将前面推导出的式（1-103）和式（1-104）重写如下

地球物理信息处理基础

该公式用语言叙述如下：x（n）与h（n）卷积的自相关函数等于x（n）的自相关函数和h（n）的自相关函数的卷积。或者简单地说，卷积的相关等于相关的卷积。用一般公式表示如下

如果

e（n）=a（n）*b（n），f（n）=c（n）*d（n） （1-119）

那么

ref（m）=rac（m）*rbd（n） （1-120）

将上面的关系式称为相关卷积定理。该关系式在许多信号处理中是一个有用的公式。

［例1-1］假设实平稳白噪声x（n）的方差是

，均值μx=0，让x（n）通过一个系统（网络），系统的差分方程为

y（n）=x（n）+ay（n-1）

式中a是实数。求出该系统的输出功率谱和自相关函数。

解：先用归纳法求出该系统的输出自相关函数

ryy（m）=E［y（n+m）y（n）］

取m=0，那么

ryy（0）=E［y（n）y（n）］=E［（x（n）+ay（n-1））2］

ryy（0）=E［x2（n）］+a2E［y2（n-1）］+2aE［x（n）y（n-1）］

式中y（n-1）发生在x（n）之前，它只和x（n-1），x（n-2），…有关，而且x（n）是白噪声，x（n）和x（n-1）x（n-2），…无关，因此，该式中的第三项等于0，那么

地球物理信息处理基础

当m=1，则

ryy（1）=E［y（n+1）y（n）］=E［（ay（n）+x（n+1））y（n）］=aryy（0）

当m=2，则

ryy（2）=E［y（n+2）y（n）］=E［（ay（n+1）+x（n+2））y（n）］=a2ryy（0）

由此可以得出

地球物理信息处理基础

由给定的系统差分方程，得出该系统函数

地球物理信息处理基础

则该系统的输出功率谱为

地球物理信息处理基础

式中a是系统函数的极点，当｜a｜＜l时，系统才能稳定。a越趋于1，即越接近于单位圆，则功率谱峰就越尖锐，频带的带宽越窄，而相关函数衰减也就越慢；反之，a趋于0，功率谱下降缓慢，自相关函数衰减则加快。

卷积运算公式是什么？

卷积公式是：z（t）=x（t）*y（t）=∫x（m）y（t-m）dm。这是一个定义式。卷积公式是用来求随机变量和的密度函数（pdf）的计算公式。

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。F（g（x）*f（x）） = F（g（x）)F（f（x）），其中F表示的是傅里叶变换。

卷积的应用：

在提到卷积之前, 重要的是要提到卷积出现的背景。卷积发生在信号和线性系统的基础上, 也不在背景中发生, 除了所谓褶皱的数学意义和积分 (或求和、离散大小) 外, 将卷积与此背景分开讨论是没有意义的公式。

信号和线性系统, 讨论信号通过线性系统 (即输入和输出之间的数学关系以及所谓的通过系统) 后发生的变化。

所谓线性系统的含义是, 这个所谓的系统, 产生的输出信号和输入信号之间的数学关系是一个线性计算关系。

因此, 实际上, 有必要根据我们需要处理的信号形式来设计所谓的系统传递函数, 那么这个系统的传递函数和输入信号, 在数学形式上就是所谓的卷积关系。

卷积公式的用法

卷积在工程和数学上都有很多应用：

1、统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。

2、概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。

3、声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。

4、电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。

5、物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。

扩展资料

卷积的应用

在提到卷积之前, 重要的是要提到卷积出现的背景。卷积发生在信号和线性系统的基础上, 也不在背景中发生, 除了所谓褶皱的数学意义和积分 (或求和、离散大小) 外, 将卷积与此背景分开讨论是没有意义的公式。

信号和线性系统, 讨论信号通过线性系统 (即输入和输出之间的数学关系以及所谓的通过系统) 后发生的变化。

所谓线性系统的含义是, 这个所谓的系统, 产生的输出信号和输入信号之间的数学关系是一个线性计算关系。

因此, 实际上, 有必要根据我们需要处理的信号形式来设计所谓的系统传递函数, 那么这个系统的传递函数和输入信号, 在数学形式上就是所谓的卷积关系。

卷积关系的一个重要案例是信号和线性系统或数字信号处理中的卷积定理。

利用该定理, 时域或空间域的卷积运算可以等价于频域的乘法运算, 从而通过使用快速算法, 实现有效的计算, 节省计算成本, 从而节省计算成本。

参考资料来源：百度百科——卷积公式

什么是卷积定理? 卷积定理用通俗的话怎么解释?

卷积定理 f(x,y)*h(x,y)F(u,v)H(u,v)

f(x,y)h(x,y)F(u,v)*H(u,v)

二个二维连续函数在空间域中的卷积可求其相应的二个傅立叶变换乘积的反变换而得.反之,在频域中的卷积可用的在空间域中乘积的傅立叶变换而得.

卷积公式的使用条件是什么?

卷积公式的使用条件解释如下：

卷积公式的使用条件没有限定。在泛函分析中，卷积、旋积或摺积是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

卷积公式的理解含义

卷积这个概念，很早以前就学过，但是一直没有搞懂。教科书上通常会给出定义，给出很多性质，也会用实例和图形进行解释，但究竟为什么要这么设计，这么计算，背后的意义是什么，往往语焉不详。

卷积公式其实就是解二元随机变量的一个公式，但实际上用一般方法也可以求解，只是用卷积公式可以稍微简便一点。如果感觉公式比较麻烦的话可以忽略，对后续的刷题没有影响。

卷积的卷积定理

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))

其中F表示的是傅里叶变换。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以 *** 到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n- 1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

卷积定理的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于卷积定理公式、卷积定理的信息别忘了在本站进行查找喔。