蝴蝶定理证明解析几何（蝴蝶定理证明）

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1、蝴蝶定理：在圆O中，CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦，连接CF、DE分别交AB于H、K，则有MK=MH。

2、 已知：在圆O中，CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦，连接CF、DE分别交AB于H、K。

3、 求证：MK=MH。

4、 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上，由于其几何图形形象奇特，酷似蝴蝶，因此而得名。

5、历史上出现过许多优美奇特的解法，其中最早的应首推霍纳所给出的非初等的证法。

6、至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学数学教师斯特温首先提出的，他给出的是面积法的证明。

7、 思路1：如图8-30甲所示,构造△MFH的全等△MGK；从四点共圆开始，再用四点共圆来证明∠MFH=∠MGK是关键； 证明1：过F作FG‖AB交⊙O于G，连接MG、KG、DG。

8、 则∠AMF=∠MFG；∠BMG=∠MGF（平行线性质）； 在△AMF和△BMG中； AM=MB； ∠FAM=∠GBM；（等弧对等角） AF=BG； （等弧对等弦） ∴ △AMF≌△BMG；（SAS） ∴ ∠AMF=∠BMG；MF=MG； ∴ ∠AMF=∠MFG=∠FGM=∠GMB； ∵ E、F、G、D四点共圆； ∴ ∠MFG+∠KDG=180° ∴ ∠BMG+∠KDG=180° ∴ M、K、D、G四点共圆； ∴ ∠MDK=∠MGK； ∵ ∠MDK=∠MFH；（同弧上的圆周角相等） ∴ ∠MFH=∠MGK； 在△MFH和△MGK中； ∠FMH=∠GMK； MF=MG； ∠MFH=∠MGK； ∴ △MFH≌△MGK；（ASA） ∴ MH=MK。

9、 结论：根据圆的对称性，往左边作图也一定可以，构造△MDK的全等三角形。

10、 思路2：如图8-30甲所示,根据圆的对称性，作出弦心距；从三角形相似再推导出三角形相似，由四点共圆，推导出∠MOH=∠MOK是关键； 证明2：过O作OS⊥FC、OT⊥DE、连OH、OK、SM、MT，再连MO。

11、 ∵ AM=MB； ∴ OM⊥AB、∠AMO=∠BMO=90°； 在△FCM和△DEM中； ∠CMF=∠DME；（对顶角相等）； ∠MFC=∠MDE；（等弧对等圆周角） ∴ △FCM∽△DEM；（AA） ∴ = ； ∵ FS=SC=FC；DT=TE=DE； ∴ = ； 在△FSM和△DTM中； ∠MFS=∠MDT；（等弧对等圆周角）； = ； ∴ △FSM∽△DTM；（SAS） ∠FSM=∠DTM； ∠MSH=∠MTK； ∵ ∠AMO=90°、∠HSO=90°；O、S、H、M四点共圆； ∴ ∠MSH=∠MOH； ∵ ∠BMO=90°、∠KTO=90°；O、T、K、M四点共圆； ∴ ∠MTK=∠MOK； ∴ ∠MOH=∠MOK； ∴ M、H、G、F四点共圆； ∴ ∠MGH=∠MFH； 在△MOH和△MOK中； ∠MOH=∠MOK； MO=MO； ∠AMO=∠BMO=90°； ∴ △MOH≌△MOK；（ASA） ∴ MH=MK。

12、 结论：作出弦心距是最有效的辅助线，本证法的出发点是证明△HOK是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性来证明最终的结论。

13、该命题还有很多其他证法，不再赘述。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。